Թվաբանական պրոգրեսիանների միավորման մասին

2014 թ ապրիլի 10-ին կայացավ ՀՄՄ հերթական նիստը, որտեղ լսվեց Իսրայելի տեխնոլոգիական ինստիտուտի պրոֆեսոր Ռոմ Պուրչազիի զեկուցումը “Թվաբանական պրոգրեսիանների միավորման մասին”.

Ամփոփում: We show that for every [latex]\varepsilon>0[/latex] there is an absolute constant [latex]c(\varepsilon)>0[/latex] such that the following is true: The union of any n arithmetic progressions, each of length n, with pairwise distinct differences must consist of at least [latex]c(\varepsilon)n^{2-\varepsilon}[/latex] elements. We show also that this type of bound is essentially best possible, as we observe [latex]n[/latex] arithmetic progressions, each of length n, with pairwise distinct differences such that their cardinality of their union is [latex]o(n^2)[/latex].

We develop some number theoretical tools that are of independent interest. In particular we give almost tight bounds on the following question: Given [latex]n[/latex] distinct integers [latex]a_1,…,a_n[/latex] at most how many pairs satisfy [latex]a_j/a_i\in [n][/latex]? More tight bounds on natural related problems will be presented.

This is joint work with Shoni Gilboa.