2014 թ հուլիսի 3-ին կայացավ ՀՄՄ հերթական նիստը, որտեղ լսվեց պրոֆ. Արթուր Իշխանյանի (ՀՀ ԳԱԱ Ֆիզիկական հետազոտությունների ինստիտուտ, Աշտարակ) զեկուցումը “Հոյնի դիֆերենցիալ հավասարումների եզակիությունների կառուցվածքի մասին” թեմայով:
Ամփոփում՝
Հոյնի ընդհանուր հավասարումը հանդիսանում է Գաուսի հիպերերկրաչափական հավասարման բնական ընդհարացումը։ Այն ունի չորս ռեգուլյար եզակիության կետ։ Հնարավոր են այդ կետերի կոալեսցենցիայի չորս տարբեր եղանակներ, ինչը հանգեցնում է Հոյնի այլասերված հավասարումների չորս տարբեր ձևերի։ Նշված հավասարումները հաճախ են հանդիպում ժամանակակից ֆիզիկական և մաթեմատիկական հետազոտություններում, և համարվում է, որ այդ հավասարումների լուծումներ հանդիսացող ֆունկցիաները աստիճանաբար տեղ կգտնեն մաթեմատիկական ֆիզիկայում կիրառվող հատուկ ֆունկցիաների ստանդարտ շարքում՝ որպես այդ ֆունկցիաների հաջորդ սերնդի մի մաս։ Սակայն հարկ է նշել, որ Հոյնի հավասարումները շատ ավելի քիչ են ուսումնասիրված, քան դրանց հիպերերկրաչափական ազգակիցները՝ վերլուծական դժվարությունները, որոնք ի հայտ են գալիս այդ հավասարումներն ուսումնասիրելիս, ավելի բարդ են՝ առնվազն մեկ կարգով։ Օրինակ, դրանց լուծումներն այլևս չեն արտահայտվում ավելի պարզ մաթեմատիկական ֆունկցիաներ ներառող որոշակի կամ կոնտուրային ինտեգրալներով։ Մեկ այլ կարևոր հանգամանք է այն, որ դրանց լուծումներն աստիճանային շարքերով կառուցելիս մենք այլևս գործ չենք ունենում շարքի հաջորդական գործակիցների միջև գոյություն ունեցող` նախկինում քաջ ծանոթ երկ-անդամանոց ռեկուրենտ առնչությունների հետ։ Արդյունքում, այլևս հնարավոր չէ նշված գործակիցները որոշել բացահայտորեն, և շարքերի զուգամիտման, ինչպես նաև, տարբեր շարքերն իրար հետ կապելու հարցերն ուսումնասիրելիս առաջանում են լուրջ բարդություններ։
Վերլուծելով Հոյնի հավասարումների եզակիության կետերի կառուցվածքը, մենք նկատել ենք, որ այդ հավասարումների լուծումների ածանցյալների համար գրված հավասարումներն է՛լ ավելի բարդ դիֆերենցիալ հավասարումներ են հանդիսանում, որոնք ընդհանուր դեպքում ունեն ևս մեկ լրացուցիչ ռեգուլյար եզակիության կետ։ Այդ լրացուցիչ կետի բնութագրական ցուցիչներն են` 0 և 2, իսկ բուն եզակիությունը գտնվում է կոմպլեքս z-հարթության այնպիսի կետում, որի դիրքը որոշվում է բացառապես Հոյնի հավասարումների օժանդակ պարամետրով։ Օգտվելով նշված հատկությունից, Հոյնի ընդհանուր և այլասերված հավասարումների լուծումների համար մենք կառուցում ենք մի քանի շարքեր՝ արտահայտված Գուրսայի ընդհանրացված հիպերերկրաչափական ֆունկցիաներով և Ապպելի առաջին տիպի երկու փոփոխականներով ընդհանրացված հիպերերկրաչափական ֆունկցիաներով։ Ճանաչորոշվում են մի քանի դեպք, երբ շարքերը բերվում են ավելի պարզ մաթեմատիկական ֆունկցիաներով (ինչպիսիք են բետա ֆունկցիան կամ հիպերերկրաչափական ֆունկցիան) արտահայտվող տեսքերի։ Քննարկվում են այն պայմանները, երբ շարքերի ընդհատման միջոցով հնարավոր է կառուցել վերջավոր գումարելիներ ընդգրկող լուծումներ։